Quadrato

quaderno con figure geometricheScena I

Il PROFESSORE (d’ora in poi PROF) e PIERO (d’ora in poi PIER)

PROF – La formula per l’area del quadrato è estremamente semplice. Vedi il quadrato che ho appena disegnato?
PIER – Sì.
PROF – Ricordi l’area del rettangolo, no? Questo non è che un caso particolare.
PIER – Sì. Se io conto i quadretti che ci stanno dentro, l’area sono appunto i quadretti.
PROF – Be’… possiamo dire così. Supponiamo di voler sapere l’area di questo quadrato.
PIER – È facile, sono… vediamo, 1, 2, 3… 9 quadretti in tutto.
PROF – Sì, ma noi l’area dobbiamo calcolarla, non contare direttamente i quadretti.
PIER – Perché?
PROF – Perché è la cosa più semplice.
PIER – Ma lei mi ha appena chiesto se sapevo cos’era l’area. Allora dovevo dire che non la sapevo?
PROF – No. Intendevo dire… in generale.
PIER – Cioè?
PROF – Devi imparare a sapere le cose in generale. Ovvero, devi imparare a calcolare l’area di qualsiasi quadrato che incontri.
PIER – E a che mi serve? A me non interessa sapere l’area di tutti i quadrati che incontro (se mai ne incontrassi uno)!
PROF – Come fai a dirlo?
PIER – Be’, è ovvio. Ho sicuramente di meglio da fare.
PROF – Ciononostante, è importante che tu sappia come si fa.
PIER – E perché dovrebbe interessarmi?
PROF – Può darsi che tu lo scopra con il tempo. Per ora… be’, per ora fa parte del programma, quindi te lo devo spiegare.
PIER – E va bene.
PROF – Bene. Supponiamo, dicevo, di voler calcolare l’area di questo quadrato.
PIER – Ma la sappiamo già: è di 9 quadretti.
PROF – Facciamo finta di non saperla!
PIER – Far finta? (Che strano…) E va bene.
PROF – Per prima cosa, dobbiamo misurarne il lato.
PIER – Quale lato?
PROF – Scegline uno.
PIER – PROF, posso dire una cosa?
PROF – Sì?
PIER – A me la matematica non sembra per niente una scienza esatta.
PROF – (tra sé): Matematica! (a PIERO): Perché dici questo?
PIER – Perché credevo che in una scienza esatta uno dovesse per forza essere preciso, e anche… dare delle certezze.
PROF – E allora?
PIER – Be’, prima di tutto questo fatto di fare finta… E poi ora lei mi dice di scegliere un lato del quadrato a caso. Tutto questo non mi sembra per niente preciso, e non mi dà nessuna idea di certezza.
PROF –Quando ho detto “fare finta”, quello che intendevo era supporre, immaginare.
PIER – E non siamo sempre lì? A scuola non ci interessano le cose reali?
PROF – Non necessariamente. O meglio… È un po’ complesso da spiegare, accidenti. È vero che la matematica si può applicare alla realtà, perché le leggi fisiche si esprimono in termini matematici, ma… è altrettanto vero che i concetti astratti possono benissimo non avere nessun riscontro nel reale. Ma è proprio questo il punto. Non ce n’è bisogno, capisci?
PIER – No.
PROF – La matematica è una scienza deduttiva. Si basa su assiomi, teoremi e relative dimostrazioni. Premesse e conseguenze, dedotte usando la logica. Non per niente è stata addirittura definita un linguaggio universale.
PIER – Perché meno capisco, più lei si mette a parlare con parole difficili?
PROF – Ah, se solo riuscissi ad andare avanti a spiegare! Allora riusciresti a capire determinati concetti.
PIER – Insomma, per ora mi devo fidare di quello che dice lei.
PROF – No! Cioè… sì!
PIER – (tra sé): Scienza esatta… Mah!
PROF – Allora, dicevo, supponiamo di conoscere il lato del quadrato…
PIER – Quale lato?
PROF – Uno qualunque! Sappiamo che il quadrato ha i lati uguali, no? Quindi uno vale l’altro.
PIER – Vediamo. Uno, due, tre… Uno, due, tre… È vero, sono uguali.
PROF – Dovresti ricordartelo, l’abbiamo visto l’altra volta, no?
PIER – L’altra volta si trattava di un altro quadrato. Ma in questo non avevo ancora misurato i lati.
PROF – Ma quello che ho detto l’altra volta valeva per tutti i quadrati!
PIER – Tutti i quadrati del mondo?
PROF – Sì.
PIER – Tutti quelli che siano mai esistiti?
PROF – Sì.
PIER – Tutti quelli che potranno mai esistere?
PROF – Sì!
PIER – E questo come fa a saperlo?
PROF – Per la definizione stessa di quadrato.
PIER – Sì, ma chi me lo assicura per ogni quadrato?
PROF – La definizione! È una cosa… una cosa che si stabilisce una volta per tutte. Definiamo un quadrato come un poligono che ha quattro lati e quattro angoli uguali. Capito? Se sono, erano o saranno dei quadrati, è proprio perché hanno queste proprietà!
PIER – E se esistesse un quadrato che non le ha?
PROF – Non sarebbe un quadrato.
PIER – Insomma io dovrei essere sicuro che tutti i quadrati prima di adesso, e per sempre, saranno sempre così, senza misurarli.
PROF – Sì. Un quadrato è una figura fatta così e così, e qualsiasi figura fatta in questo modo è un quadrato. È un po’ come se ti dicessi che se a = x, allora x = a. Proprietà simmetrica dell’uguaglianza, che, essendo una relazione di equivalenza, gode appunto di questa proprietà.
PIER – Non ho capito.
PROF – Insomma, è come se dicessi che tu sei Piero, e quindi Piero sei tu, o che io sono il professore adesso in questa stanza, e quindi il professore adesso in questa stanza sono io. Adesso hai capito?
PIER – Sì… anche se a me non sembra che sia la stessa cosa del quadrato. Comunque, se lo dice lei… va bene.
PROF – Come dicevo, supponiamo di conoscere il lato di un quadrato… per esempio di questo qui.
PIER – Tre quadretti.
PROF – No, non intendevo questo. Ricordi come si misura un segmento?
PIER – Non c’è bisogno di misurarlo di nuovo, sappiamo già che questo qui misura tre quadretti.
PROF – Sì, ma io voglio che tu mi dica come si fa.
PIER – Perché? Non se lo ricorda?
PROF – Certo che me lo ricordo! Ma voglio sapere se te lo ricordi tu!
PIER – Io me lo ricordo.
PROF – E allora dimmelo.
PIER – Non si fida?
PROF – La fiducia non c’entra. Me lo devi dimostrare.
PIER – Questa è bella! Prima ho dovuto fidarmi di lei quando ha detto che i quadrati nel mondo sono e saranno tutti uguali per sempre, e ora invece, che ha appena visto con i suoi occhi che so misurare, mi viene a dire che glielo devo dimostrare perché non si fida di me.
PROF – Le due questioni sono completamente diverse!
PIER – Perché? Qual è la differenza?
PROF – La differenza è che quello che ho detto prima è facile da verificare. Anche se non l’hai capito, si può dimostrare.
PIER – Non ho capito bene.
PROF – Io ne so più di te, ecco la differenza. Per questo ti devi fidare di me.
PIER – Dovrei accettare certe cose sulla fiducia, e al tempo stesso dimostrargliene altre che sono ovvie! E questo sarebbe usare la logica…
PROF – Lo capirai a tempo debito. Per ora andiamo avanti. Allora, come hai fatto a misurare il lato di questo quadrato?
PIER – Ho contato i quadretti.
PROF – Non è una risposta esauriente, per quanto sia esatta. Per esempio… Ecco. Guarda quest’altro foglio. Questo quadrato è identico a quello di prima, no? Lo puoi verificare sovrapponendolo, visto che questa carta è sottile e quello che c’è sotto si vede in trasparenza.
PIER – Sì, sono uguali.
PROF – Ebbene, quanto misura questo lato?
PIER – 1, 2, 3, 4… 6 quadretti!
PROF – Bene. Come mai le due misure sono diverse, se i quadrati sono uguali?
PIER – Perché i quadretti erano diversi. Questi qui sono più piccoli e quindi ce ne stanno di più.
PROF – Bravo! E perché abbiamo contato i quadretti – o meglio, i loro lati?
PIER – Perché me l’ha insegnato lei. Si ricorda? L’altra volta non avevo portato il righello, e siccome non ce l’aveva nemmeno lei, mi ha detto che l’importante era capire il concetto. E così si è messo a contare i quadretti.
PROF – Sì, ma perché?
PIER – È lei il professore. Dovrebbe saperlo.
PROF – Intendevo chiederti se hai capito perché si deve fare così.
PIER – Sì, l’ho capito.
PROF – Allora dimmelo. Perché?
PIER – (Ci risiamo con la mancanza di fiducia). Si vede, no?
PROF – Fai conto che io non lo stia vedendo. Facciamo finta che io sia un non vedente.
PIER – Mi sembra un po’ strano. E va bene. Qui – anche se lei non lo vede – c’è un quadrato. Questa linea – anche se lei non la vede – è lunga sei quadretti.
PROF – E se ti chiedessi come fai a saperlo?
PIER – Be’, perché la vedo. E se lei non la vedesse, si dovrebbe fidare di me.
PROF – E perché mai?
PIER – Perché in questo caso sarei io a saperne di più di lei.
PROF – No, no, e no! Non è così che funziona!
PIER – Come sarebbe a dire? Prima con lei funzionava!
PROF – Ma io voglio sapere perché questo fatto di contare i quadretti funziona!
PIER – Perché… si vede!
PROF – Ma io non ci vedo!
PIER – Se lei non ci vedesse, non solo non potrebbe contare i quadretti, ma non potrebbe nemmeno verificare che ho ragione!
PROF – Ma è proprio qui la forza delle formule! Ci permettono di sapere delle cose anche quando non le vediamo! Mettiamo che qui ci fossero dieci bambini, e tu volessi dare a ognuno dieci caramelle, come faresti a sapere quante caramelle comprare?
PIER – Semplice: nessuna. Le caramelle sono piene di additivi e roba artificiale, e fanno male ai denti.
PROF – Dieci gelati!
PIER – Dieci gelati ognuno? Ma li manderei all’ospedale, e le loro mamme mi denuncerebbero!
PROF – Dieci mele, accidentaccio! E da portare a casa, va bene?
PIER – Qual era la domanda?
PROF – Quante mele compreresti, se dovessi dargliene dieci ciascuno?
PIER – Nessuna. Ho l’orto, dove ci sono due alberi di mele, oltre a tre di albicocche.
PROF – Va bene, ma la domanda non cambia! Quante ne dovresti raccogliere?
PIER – Vediamo… dieci… per dieci… Dieci per dieci è uguale a cento.
PROF – Ecco – alla buon’ora! Hai dovuto per caso contare una per una tutte le dieci caramelle… voglio dire, le dieci mele?
PIER – No.
PROF – E perché?
PIER – Perché non ce le ho, qui.
PROF – Non è per questo! Il punto è che non ne hai avuto bisogno. E questo perché ti è bastato moltiplicare il numero di bambini per il numero delle caramelle.
PIER – No, delle mele.
PROF – Delle mele! Hai capito, adesso?
PIER – No. Cosa c’entrano le mele con il quadrato?
PROF – Il concetto è lo stesso! Anche questo è un vantaggio delle formule: certe cose sono vere indipendentemente dagli esempi che facciamo.
PIER – Se lo dice lei…
PROF – Le formule servono proprio a calcolare le cose senza far fatica, anzi senza nemmeno vederle! Anzi, possiamo addirittura arrivare alle stesse conclusioni anche quando le cose non esistono!
PIER – E a che serve calcolare qualcosa che non esiste?
PROF – Fidati, serve!
PIER – Di nuovo, devo fidarmi. La matematica mi sta sembrando sempre più basata sulla fiducia.
PROF – Non è così. Non è per niente così. Tu fidati!
PIER – D’accordo.
PROF – Io, tanto per farti un esempio, da ragazzo, non capivo l’importanza dei numeri immaginari – tutte le loro applicazioni. Se solo avessi saputo!
PIER – Ma i numeri sono tutti immaginari!
PROF – No, non è così.
PIER – Come no? Non ho mai incontrato, per dire, il numero tre per strada!
PROF – Non è questo che… Vedi, in un caso si tratta di un concetto astratto, ma che comunque esprime delle quantità… Ma torniamo all’area del quadrato.
PIER – D’accordo. Meglio i quadrati che non si vedono che i numeri più immaginari degli altri.
PROF – O meglio ancora… a questo punto farei una piccola pausa. Avrei bisogno di un caffé (o forse sarebbe il caso di prendere un tranquillante).

Scena II

Detti

PROF – Dunque: come misurare un lato. Cos’hai capito, finora?
PIER – Mah. Per sapere quanto misura questo lato qui, io conto i quadretti. E secondo lei i quadretti si possono contare anche se non si vedono. Anzi, addirittura anche se non esistono. Non lo capisco, ma lei mi ha detto di fidarmi…
PROF – Aspetta. Aspetta. Ricordi almeno la definizione che ti ho dato di unità di misura?
PIER – Sì: un quadretto.
PROF – In quel caso non avevamo il righello, per cui ti avevo detto che avremmo considerato il lato di un quadretto come unità di misura. Ma potremmo usare qualsiasi altra cosa. Anche il mio dito.
PIER – Perché? Il quadretto è la cosa più comoda.
PROF – E se il foglio non avesse quadretti?
PIER – Be’… si possono disegnare!
PROF – Bravo. E come li disegneresti? Eccoti un foglio bianco.
PIER – Così… Scusi se sono un po’ storti. Non immaginavo che avremmo fatto anche educazione artistica.
PROF – Non importa se sono storti. Noi faremo finta che siano dritti.
PIER – Fare finta?… Ah, già. Capisco.
PROF – Ora dimmi cos’hai appena fatto.
PIER – Ma l’ha visto! Ah, sta ancora facendo finta che non ci vede? Be’, ho appena disegnato dei quadretti su un foglio bianco.
PROF – E perché?
PIER – Perché me l’ha detto lei.
PROF – Sì, ma perché te l’ho detto?
PIER – Non lo so.
PROF – Ricordi cosa dovevamo fare?
PIER – Misurare la lunghezza di un lato. E lei ha appena detto che senza quadretti non si può fare.
PROF – Senza unità di misura, ho detto!
PIER – E non è la stessa cosa?
PROF – No! Cioè… non esattamente. Semplicemente, per sapere che lunghezza ha un segmento, lo confronto con un altro segmento, che serve… come dire… da riferimento. In questo caso abbiamo considerato la lunghezza del lato di un quadretto. Ma in realtà non importa che unità di misura si sceglie.
PIER – Posso chiedere una cosa?
PROF – Sì.
PIER – Quanto è lungo il lato di un quadretto?
PROF – Dovresti saperlo. La sua lunghezza è uguale a 1.
PIER – Uno cosa?
PROF – Un quadretto, no?
PIER – Ma lei prima mi ha detto che per misurare il lato bisogna dividere il quadrato in tanti quadretti. E ora mi dice che il quadretto è grande un quadretto e basta. Non dovrei dividere anche lui in tanti quadretti più piccoli?
PROF – No! Cioè… sì, ma se lo fai, allora i quadretti piccoli saranno frazioni dell’unità di misura. E il quadretto misurerà sempre 1. Capisci?
PIER – No. Se il quadretto è un quadrato più piccolo, dovrebbe valere tutto quello che vale per il quadrato grande, no? Lei ha detto prima che le stesse cose valgono per tutti i quadrati del mondo.
PROF – Il punto è che non ci importa sapere quanto misura un’unità di misura. Almeno, non in questo momento.
PIER – Perché?
PROF – Quello che vorrei farti capire è che conta il rapporto tra il quadrato grande e il quadrato piccolo, non le loro misure… come dire… assolute. Per questo, se io prendo qualcosa come unità di misura, è come se ti dicessi che misura 1. Capito?
PIER – No.
PROF – Se io per esempio voglio misurare una montagna e uso come unità di misura… che ne so… un grattacielo, posso benissimo dire che la montagna misura, ad esempio, come 20 grattacieli alti come quello. Ma non sto a dire quanto è alto il grattacielo in quel momento, perché è già stato stabilito prima. Vediamo: quanti grattacieli di 100 metri è alto un grattacielo di 100 metri?
PIER – Mi sta prendendo in giro? Un grattacielo di 100 metri è alto 100 metri.
PROF – È alto come un grattacielo di 100 metri. Quindi è alto 1!
PIER – Mi sembra un po’ complicato. E del tutto inutile per un non vedente.
PROF – Cosa c’entrano i non vedenti?
PIER – L’ha detto lei prima, che il bello delle formule è che possono servire a tutti, che ci vedano o no.
PROF – Segui il mio ragionamento! Devi solo capire che l’unica cosa importante è scegliere un’unità di misura. E ti assicuro che le unità di misura del Sistema Internazionale, per esempio il metro, sono pratiche e affidabili.
PIER – Anch’io trovo più intelligente misurare una montagna usando i metri piuttosto che i grattacieli.
PROF – Bene! (Si asciuga il sudore). Così come un segmento si può dividere in tanti piccoli segmenti, un’area si può dividere in tante piccole aree. Naturalmente sto parlando dei quadretti. E quindi, visto che i lati del quadrato grande sono uguali, io so già che questo lato, perpendicolare al primo, ha la stessa misura. Giusto?
PIER – Giusto.
PROF – Quindi, come facciamo a sapere, senza contarli, quanti quadretti ci sono in tutto nel quadrato?
PIER – Non lo so.
PROF – Riflettici! Per sapere quanti quadretti ho contato prima tutti i quadretti di questa fila orizzontale, e poi l’ho moltiplicato per il numero di file in verticale. L’avevi già studiato nel caso del rettangolo.
PIER – Cioè si fa base per altezza?
PROF – Esatto. In questo caso, base e altezza sono uguali, quindi moltiplico la misura del lato per se stessa. Capito?
PIER – Credo di sì.
PROF – Quest’operazione si chiama proprio “fare il quadrato” di un numero. Infatti moltiplicare un numero per se stesso equivale a calcolare l’area del quadrato che avrebbe quel numero come misura del suo lato.
PIER – E questo vale sempre?
PROF – Sì, ovvio.
PIER – Per tutti i quadrati che siano mai esistiti? O che mai esisteranno?
PROF – Sì!
PIER – Sempre?
PROF – Sempre. Anche se non ci fossero disegnati i quadretti, sapresti sempre che quest’area si calcola moltiplicando il lato per se stesso. Questo significa semplicemente costruire, data una linea, un quadrato che ha come lato questa linea.
PIER – Quindi lei mi sta dicendo che posso calcolare l’area di un quadrato che ancora non c’è.
PROF – Sì.
PIER – Questo perché stiamo facendo un ragionamento astratto.
PROF – Sì.
PIER – Ed è per questo che vale per tutti i quadrati che devono ancora essere disegnati.
PROF – Esatto!
PIER – Ma allora, se per calcolare l’area di un quadrato che c’è, io devo “fare un quadrato”, significa che questa è un’uguaglianza. Come dire: un quadrato è un quadrato, come a = x, e quindi x = a. Come dire che lei è lei e quindi io sono io.
PROF – Sì… diciamo pure così.

Scena III

Detti

PROF – Bene, parliamo dell’area del quadrato. Immagina che io non sappia niente. Facciamo finta che tu sia un professore e io un tuo studente. E che mi stai insegnando come si calcola l’area del quadrato.
PIER – Va bene. Ecco, vede il quadrato che ho disegnato?
PROF – Come fai a dire che è un quadrato?
PIER – Si deve fidare di me, perché io ne so più di lei.
PROF – No, tu devi insegnarmi a capire cos’è un quadrato. Come sono i suoi lati e i suoi angoli?
PIER – Ah, già! Un quadrato è una figura che ha quattro lati e quattro angoli uguali.
PROF – Bene. E lo sappiamo per…? Per de…? Def…? Defi…?
PIER – Lo sappiamo perché tutti i quadrati del mondo sono così, e lo saranno per sempre.
PROF – E perché?
PIER – Perché un quadrato è sempre un quadrato, così come x = x e lei è lei (anche se finge di essere me) e io sono io (anche se fingo di essere lei).
PROF – Va bene. (Più o meno…)
PIER – Allora, questo qui è un lato. Siccome qui non siamo in un foglio a quadretti, ci disegniamo i quadretti, altrimenti non possiamo calcolare l’area. Io posso vedere che misura sei quadretti, ma devo fare finta di non saperlo, perché se fossi un non vedente non lo vedrei, e le formule devono servire anche a loro.
PROF – (si passa una mano sui capelli). A cosa servono questi quadretti piccoli?
PIER – Servono come unità di misura.
PROF – Cioè?
PIER – Cioè, se io voglio misurare qualcosa, devo confrontarla con un’altra cosa. Per esempio nel caso di una montagna posso prendere tanti grattacieli, anche se secondo me non conviene.
PROF – (sospira). Quindi, in questo caso stai considerando un quadretto come unità di misura.
PIER – Sì. Infatti dentro il quadrato ci sono i quadretti, perché così posso sapere che questa linea è lunga sei quadretti, mentre senza i quadretti non potrei saperlo.
PROF – Quasi giusto… Ha importanza la lunghezza del lato dei quadretti?
PIER – No, perché posso fare i quadretti grandi o piccoli. Però devo dire che sono sempre uguali a 1, perché sono l’unità di misura. Quindi non sono come gli altri quadrati, che si possono dividere in quadretti più piccoli. Così, l’area di un quadrato uguale disegnato in un altro foglio risulta maggiore perché ci sono più quadretti.
PROF – (Povero me..) E quale procedimento si usa, esattamente, per ricavare la formula?
PIER – Allora, prendo questo lato, e… poi prendo questo qua.
PROF – Perché proprio questi due?
PIER – Perché tanto sono tutti uguali, per cui lei mi ha detto che si possono scegliere a caso.
PROF – Sì, ma i lati che avresti dovuto scegliere avrebbero dovuto essere perpendicolari tra loro.
PIER – Ma questo lato non è uguale a quest’altro?
PROF – Sì.
PIER – L’ha detto lei, che il risultato non cambia anche se cambio lato. E poi, se io non ci vedessi, non saprei se il lato che ho scelto è perpendicolare all’altro.
PROF – Questo non conta. Quello che conta è come si ricava la formula.
PIER – Ah, sì. Lo so. Si contano i quadretti che ci sono in un lato, ma siccome il quadrato ha i lati uguali, il risultato non cambia.
PROF – Cosa significa “fare il quadrato” di un numero?
PIER – Significa che devo calcolare l’area di un quadrato, cioè prendo una linea e poi disegno tutto il quadrato. Il risultato è lo stesso, come se il quadrato ci fosse già stato prima. E questo perché tutti i quadrati hanno le stesse regole, da sempre e per sempre. Anche quelli che non esistono.
PROF – E cioè?
PIER – E cioè, per calcolare l’area del quadrato si fa il quadrato. Questo vuol dire che si disegna un quadrato.
PROF – Non è ancora chiaro. Spiegati meglio.
PIER – Ma è semplice! Un quadrato è un quadrato, così come se x = a allora a = x, e se lei è lei, io sono io. Prof, cosa fa su quel davanzale?